Телефон: +7 (383)-235-94-57

ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНОГО РАЗРЕШЕНИЯ И РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ЦИФРОВЫХ АЭРОФОТОСИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРЕМЫ КОТЕЛЬНИКОВА-НАЙКВИСТА-ШЕННОНА

Опубликовано в журнале: Инженерные решения №2(3)

Автор(ы): Молчанов Андрей Сергеевич

Рубрика журнала: Математические и компьютерное моделирование

Статус статьи: Опубликована 18 февраля

DOI статьи: 10.32743/2658-6479.2019.2.3.85

Библиографическое описание

Молчанов А.С. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНОГО РАЗРЕШЕНИЯ И РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ЦИФРОВЫХ АЭРОФОТОСИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРЕМЫ КОТЕЛЬНИКОВА-НАЙКВИСТА-ШЕННОНА // Инженерные решения: эл.научный журнал. –2019 – №2(3). URL: https://journaltech.ru/archive/3/85 (дата обращения: 23.08.2019)

Молчанов Андрей Сергеевич

канд. техн. наук, доц., проф. Академии военных наук

РФ, г. Ахтубинск

STUDY OF THE CHARACTERISTICS OF THE LINEAR SOLUTION AND RESOLUTION ABILITY OF DIGITAL AEROFOTOSYSTEMS USING THE KOTELNIKOV-NYQUIST-SHANNON THEOREM

 

Andrey Molchanov

сandidate of Technical Sciences, Associate Professor, professor of the Academy of military sciences

Russia, Ahtubinsk

 

АННОТАЦИЯ

В статье проведены исследования по применению теоремы Котельникова-Найквиста-Шеннона для исследования характеристик линейного разрешения и разрешающей способности цифровых аэрофотосистем при проведении летных испытаний. Проведен анализ и показан пример использования проведенных исследований для оценивания характеристик качества авиационных цифровых аэрофотосистем и определения потенциальных характеристик разрешения по заданному контрасту наземных штриховых мир.

ABSTRACT

The article conducted research on the application of the Kotelnikov-Nyquist-Shannon theorem to study the characteristics of the linear resolution of digital aerofotosystems during flight tests. The analysis was carried out and an example of the use of the conducted studies was shown for assessing the quality characteristics of aviation digital aerofotosystems and determining the potential resolution characteristics for a given contrast of ground-based stroke test object.

 

Ключевые слова: линейное разрешение, штриховая мира, разрешающая способность, математическая модель, теорема Котельникова, частота Найквиста

Keywords: linear resolution, test object, resolution ability, mathematical model, Kotelnikov theorem, Nyquist frequency.

 

Объекты наблюдения при описании частотной модели работы цифровых аэрофотосистем (ЦАФС) можно представить в виде плоского подвижного изображения, описываемого функцией β(x,y,t) [9]. Типовой объект может быть представлен некоторой его проекцией на плоскость.  Коэффициент яркости β, зависит от трех аргументов: пространственных координат на плоскости x, y и времени t. При облучении площадки местности ΔА потоком Ф от источника излучения и диффузном характере отражения, яркость L изображения определяется отношением . Применяя частотный метод анализа, плоское подвижное изображение представляется суммой некоторого числа синусоидальных составляющих функции L. В линейной системе эту функцию можно представить в виде трехмерного интеграла Фурье [3, 9]

 

                           ,                                                      (1)

 

где Sxyt) – трехмерный спектр изображения наблюдаемой местности, ωxy, – круговые пространственные частоты (ПЧ), связанные с пространственными длинами волн λxy и с числом пространственных периодов  на единицу длины в направлении осей x и y следующим образом:    – время,  – круговая временная частота, связанная с числом колебаний (частотой)  в единицу времени и периодом колебаний соотношением 

Трехмерный спектр изображения местности, определяемый обратным преобразованием Фурье, имеет вид

                                                             (2)

Отдельные элементы ЦАФС в том приближении, в каком их можно считать однородными линейными звеньями, действуют как фильтры, изменяющие пространственно-временной спектр изображения. Это изменение спектра можно определить с помощью отклика системы .

Яркость изображения подвижного объекта связана с яркостью исходного изображения  преобразованием и называется сверткой функций и 

                                                     (3)

В соответствии с теоремой о спектре свертки, спектры исходного Sxyt)  и преобразованного Sixyt) изображений связаны между собой

                                                       (4)

    ,                                                (5)

где Tэxyt) – энергетический спектр функции передачи а(x,y,t).

Спектр Tэxyt) является пространственно-временной оптической передаточной функцией (ОПФ), которая в общем случае является комплексной. Модуль величины спектра Tэxyt) является функцией передачи модуляции (ФПМ) ЦАФС [3, 5, 9]

                                    (6)

Достоинство частотного метода состоит в том, что он позволяет учитывать изменения характера преобразований информации, вносимых системой. Он также удобен для подробного изучения (анализа) системы, так как функция, характеризующая спектральные пропускания всей линейной системы, представляет собой произведение функций спектрального пропускания отдельных звеньев системы

                                                             (7)

где Txyt) – ФПМ отдельного звена системы.

Учитывая что скорость ЛА значительно превышает скорости наземных объектов, наблюдаемую местность можно описать функцией β(x,y) только двух пространственных x и y аргументов. Модуль ОПФ Tэxy) при учете пространственных аргументов x и y называется ФПМ звена или системы

                                    (8)

Передаточные свойства звена описываются отношением сигнала на его выходе и входе. В качестве входного сигнала в разрабатываемой модели используется сигнал типа «белый шум». Разбиение ЦАФС на отдельные звенья зависит от того, влияние каких факторов необходимо учесть и можно представить состоящим из отдельных последовательно соединенных оптических звеньев. Общим для всех этих звеньев является то, что каждое из них оказывает свое влияние на сигнал независимо от влияния других элементов тракта. При этом учитывается лишь эквивалентное влияние на сигнал того или иного фактора, независимо от его физического содержания. [2, 3, 9].

Поскольку к отдельным элементам ЦАФС применим принцип суперпозиции, то их можно считать линейными фильтрами ПЧ. Таким образом, для описания работы ЦАФС, использующей фоточувствительные приборы с переносом заряда (ФППЗ) в качестве фотоприемного устройства, необходимо определить передаточные характеристики звеньев и задаться входным сигналом [2, 6].

Наиболее употребляемой величиной для оценки качества изображений ЦАФС с дискретным фотоприемником на основе ФППЗ является размер пикселя. Термин «пиксель» применяется в отношении ЦАФС с дискретными фотоприемниками нс вполне корректно. Наиболее точными являются термины «линейный размер элементарного фотоприемника линейки или ФППЗ», и (или) «геометрическая проекция на местности» [5, 6]. Зачастую производители завышают характеристики и параметры образцов, различно трактуя величины проекции пикселя и разрешения на местности.

Для некоторых систем размер пикселя на местности является геометрической проекцией линейного размера пикселя линейки ФППЗ, т. е. величина пикселя на земной поверхности получается простым умножением размера пикселя линейки фотоприемников на знаменатель масштаба съемки. В этом случае не учитывается влияние атмосферы, сдвига изображения, дифракции и аберрации оптической системы, неточности фокусировки и других факторов, которые приводят к размытию пикселя (увеличению его размеров) и ухудшению разрешения на местности.

Например, для системы указывается величина размера пикселя на местности: L = 0,6 м. Геометрическая проекция пикселя на поверхность Земли составляет 0,7 м при расчете на заданную высоту полета, фокусное расстояние и размер пикселя ФППЗ. Приводимая величина размера пикселя в 1,16 раза больше его геометрической проекции. Как показали расчеты по формулам, которые будут приведены ниже, это соответствует учету только ФПМ объектива. Для других систем приводимые размеры пикселя на местности строго соответствуют геометрической проекции размера пикселя на земную поверхность. В этом случае не учитывается влияние оптической системы и факторов полета на увеличение реальных размеров пикселя на земной поверхности. Производители в рекламных целях не учитывают влияние многих других факторов, увеличивающих размер проекции пикселя на поверхность Земли (атмосфера, остаточные вибрации и сдвиги изображения и другие).

Перейдем к особенностям формирования изображений, которые определяют минимальные размеры элементов на местности, воспроизводимые системой на создаваемых ею изображениях. Эти экс факторы определяют величину разрешения системы на местности или в фокальной плоскости.

Передаточные свойства ФППЗ зависят от взаимного положения элементарного объекта на земной поверхности и мгновенной проекции на него пикселя дискретного фотоприемника в момент съемки. Если элементарный объект, размеры которого совпадают с размером проекции реального пикселя на поверхности Земли, полностью совпадает с проекцией пикселя, то он воспроизводится на изображении системы. В этом случае разрешение системы на местности равно проекции реального пикселя (с учетом всех дестабилизирующих факторов).

В случае попадания объекта на границу двух пикселей оба пикселя дают сигнал половинного контраста, а разрешение на местности будет определяться размером проекции двух пикселей, т.е. ухудшится в два раза.

В действительности может быть много случайных сочетаний взаимного положения объекта и проекции пикселей на поверхность Земли. Следует подчеркнуть, что в этом случае процесс формирования изображения ФППЗ носит принципиально случайный характер, зависящий от взаимного положения проекции пикселя на земную поверхность и точечного объекта на этой поверхности. Наиболее характерные варианты рассмотрены на рисунках 2, 3.

 

Рисунок 1. Варианты взаимного расположения проекций одиночного элемента штриховой миры

 

Рассмотрим процесс формирования изображений, когда в качестве изображения используется штриховая мира, ширина проекции штриха которой равна размеру элементарного фотоприемника, и когда на фотоприемник проектируется изображение квадрата, совпадающее по размеру с размером фотоприемника.

На рисунке 1 элемент штриховой миры в положении 1 полностью совпадает единичным элементом ФППЗ и обеспечивает полное разрешение. В положении 2 и 3 штрихи миры проектируются со смещением на половину элемента матрицы или линейки ФППЗ. Все случаи сдвига включают в себя все промежуточные варианты от полного разрешения до полного пропадания. В остальных случаях мира не разрешается (ровный серый фон).

Рассмотренные варианты интересны тем, что далее, в случае равенства размеров элемента миры и элементов матрицы, могут быть положения, когда разрешение миры отсутствует, т.е. условие Найквиста не выполняется.

 

Рисунок 2. Варианты расположения проекций одиночного элемента объекта совпадающее с размером ФППЗ, в двух направлениях одновременно

 

Рассмотрим, когда на фотоприемник проектируется изображение квадрата, совпадающее по размеру с размером фотоприемника ФППЗ. Объект представляет собой квадрат абсолютного контраста, размеры проекции которого на матрицу равны размерам элемента матрицы.

Исходное положение элемента изображения, случай полного совпадения элемента изображения и элемента матрицы, показан на рисунке 3. В этом случае на регистрирующем устройстве изображение будет соответствовать одному пикселю максимального контраста.

В положениях 1, 2, 3, 4 на рисунке 2 проекции объекта на матрицу смещены на 0,5 размера элемента (пикселя) ФППЗ. Первый вариант - смещение на 0,5 пикселя строго вверх, второй вариант – смещение на 0,5 пикселя строго вниз, третий вариант смещение на 0,5 пикселя строго вправо, четвертый вариант – смещение на 0,5 пикселя строго влево. В этих вариантах одновременно засвечиваются 2 пикселя, контраст при этом уменьшается в два раза.

В вариантах 5, 6, 7, 8 засвечиваются одновременно четыре пикселя, контраст при этом уменьшается в четыре раза. В этом случае исходный объект малого контраста может быть не обнаружен на изображении. Из 9 возможных вариантов случайного положения объекта относительно элемента матрицы при дискретном смещении на 0,5 пикселя только один вариант (11 %) воспроизводится с полным контрастом; четыре варианта (44 %) воспроизводятся с контрастом 0,5 и четыре варианта с контрастом 0,25 (44 %).

Рассмотренный пример физически объясняет положение теоремы Найквиста, из которой следует, что проекция объекта в плоскости фотоприемника по линейному размеру должна в два раза превосходить размер элемента матрицы. В этом случае при любых смещениях проекции объекта относительно элементов матрицы, хотя бы один пиксель всегда будет воспроизводиться с полным контрастом, что существенно повышает вероятность обнаружения одиночного объекта.

Из рассмотрения примеров следует, что вариант, когда на изображении может быть воспроизведен объект или штрих миры, размеры которых соответствуют размеру проекции пикселя системы на земную поверхность, маловероятен.

Для получения устойчивых результатов воспроизведения объектов на изображениях, получаемых дискретными системами, принято ограничивать максимальную полосу пропускания ПЧ системами так называемой частотой Найквиста [1, 10], которая определяется выражением

 

                                                                                              (9)

 

где Nυ, – ПЧ, соответствующая частоте Найквиста; Δ – линейный размер пикселя ФППЗ.

Из выражения (9) можно сделать вывод, что частота Найквиста в некотором смысле подобна понятию «разрешающая способность». Частота Найквиста, как и РС, является величиной, обратной периоду колебаний, т. с. обратной двум элементам дискретизации.

Понятие частоты Найквиста хорошо согласуется с требованиями фундаментальной теоремы дискретизации теоремы Котельникова. В зарубежной литературе теорема Котельникова часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу [10], в которой речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Независимо от него эту теорему в 1949 году доказал Шеннон [1], поэтому в зарубежной литературе теорему Котельникова в том числе называют теоремой Шеннона.

Теорема Котельникова (в зарубежной литературе – теорема Найквиста-Шеннона или теорема отсчётов) доказана в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи» гласит, что, если аналоговый сигнал x(t) имеет финитный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой строго большей удвоенной верхней частоты v > 2·vc, где vc - максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала [1, 4].

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временной характеристике точек разрыва. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный частотой vc». Реальные сигналы не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени, имеют во временной характеристике разрывы и их спектр бесконечен. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно и из теоремы Котельникова вытекают 2 следствия:

  1. Любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой v > 2·vc.
  2. Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал x(t) можно представить в виде интерполяционного ряда

 

,                                                         (10)

где sinc(x)=sin(x)/x – функция sinc.

Интервал дискретизации ограничен 0<Δ≤1/(2vc). Мгновенные значения данного ряда соответствуют дискретным отсчетам сигнала x(kΔ).

При определении частоты Найквиста используют только размер элемента фотоприемника или его проекции на поверхность Земли, при этом не учитывается значительное увеличение размера пикселя за счет влияния факторов, отображенных на блок-схеме (рисунок 1). Поэтому выражение (9) дает верхнюю оценку разрешения системы по контрасту К=1.0. Реальная РС систем всегда несколько ниже РС, соответствующей частоте Найквиста.

Разрешение на местности L по отношению к контрастным компактным объектам малых размеров определяется как величина, обратная РС. Применительно к ЦАФС РС – обратная частоте Найквиста в фокальной плоскости системы [6]

,                                                                                (11)

 

где Н – высота фотографирования, м; Rc – РС аэросъёмочной системы, мм-1; f – фокусное расстояние объектива, мм.

Для расчета влияния основных факторов на РС ЦАФС использовалась методика синтеза результирующих характеристик с использованием ФПМ. Расчет ФПМ проводился специализированного «Программного комплекса обработки цифровых изображений» (ПКОЦИ) [8]. Заданы исходные данные: высота аэрофотографирования Н, размер входного зрачка объектива аэрофотоаппарата Dвхзр, величина сдвига изображения , параметр атмосферы , фокусное расстояние f,  размер пикселя Δ.

Моделирование осуществлялось для ЦАФС (таблица 1):

  1. Система оптико-электронной разведки (СОЭР), предназначенная для выполнения дневного аэрофотографирования местности, размещенного на самолете Ил-20.
  2. «Авиационная система наблюдения «Открытое небо» (АСН-ОН), предназначенная для выполнения дневного планового аэрофотографирования местности, размещенного на самолете Ту-214ОН «Открытое небо».
  3. Оптико-электронная система наблюдения (ОЭСН), шифр «Цифровик», размещенного на самолетах Ту-154М Лк-1 и Ан-30Б. 

Таблица 1.

Характеристики ЦАФС

Наименование ЦАФС

Тип  ФППЗ

 

Размер, мкм

Число элементов (Г×В)

f, мм

Nυ, мм

1

АСН-ОН

(DMC II140) Открытое небо

Ту-214-ОН

ПЗС размером 144 МПикс

7,2 х 7,2

12240 x 11418

92

69.4

2

СОЭР

(ЦАБО)

Ил-20

ФППЗ Sony ICX 454, RGB

3,725 х 3,725

48000

х1200 (30 шт.)

300 мм (4 шт.)

180 мм (4 шт.)

135 мм (2 шт.)

134,2

3

ОЭСН «Цифровик» Открытое небо

Ту-154М Лк1

ФППЗ Sony ICX 454, RGB

3,725 х 3,725

12000

х1200 (10 шт.)

21600

х1200 (18 шт.)

100 мм (10 шт.)

50 мм (18 шт.)

16 мм (16 шт.)

134,2

 

Результаты моделирования приведены на рисунке 3 в виде графиков по усредненным значениям полученных результатов: 1– ФПМ одиночного пикселя ЦАФС СОЭР Δ=3,725 мкм, 2 – ФПМ ЦАФС СОЭР с учетом влияния атмосферы и возмущений, 3 – ФПМ одиночного пикселя ЦАФС АСН-ОН  Δ=7,2 мкм, 4 – ФПМ ЦАФС АСН-ОН с учетом влияния атмосферы и возмущений, 5 – кривая пороговой модуляции (K=0,95), 6 – кривая пороговой модуляции (K=0,2).

На рисунке 3 точки пересечения на кривых: a – РС ЦАФС АСН-ОН R0.2=37 мм-1 с учетом влияния атмосферы и возмущений, b – РС ЦАФС АСН-ОН R0,2=40 мм-1 без учета влияния атмосферы и возмущений, c –  РС ЦАФС АСН-ОН R0,95=52 мм-1 с учетом влияния атмосферы и возмущений,  d – РС ЦАФС АСН-ОН R0.95=55 мм-1 без учета влияния атмосферы и возмущений, e – РС ЦАФС СОЭР R0.2=62 мм-1 с учетом влияния атмосферы и возмущений, f – РС ЦАФС СОЭР R0.2=68 мм-1 без учета влияния атмосферы и возмущений, g – РС ЦАФС РС ЦАФС СОЭР R0,95=101 мм-1 без учета влияния атмосферы и возмущений, i – частота Найквиста АСН-ОН, j – частота Найквиста СОЭР.

 

Рисунок 3. Определение разрешающей способности с помощью ФПМ

 

Из проведенных исследований следует РС ЦАФС АСН-ОН с учетом влияния атмосферы и возмущений Rk=0,95=52 мм и составляют примерно 0,76 от частоты Найквиста, равной 68 мм (точка с), РС ЦАФС СОЭР с учетом влияния атмосферы и возмущений Rk=0,95=94 мм и составляют примерно 0,72 от частоты Найквиста, равной 68 мм (точка g). Таким образом, с учетом ранее проведенных исследований можно принять коэффициент увеличения размера пикселя за счет влияния атмосферы и дифракционных искажений оптической системы сенсора равным 0,75 (25%) [5, 7, 8]

 

Rk=0,95≈0,75 Nυ,                                                                     (12)

 

Для определения зависимости РС ЦАФС, ФПМ которых изменяется по закону, близкому к закону sin(x)/x от контраста объекта К=1,0 получено [7]

 

,                                                                (13)

 

Таким образом, проведенные дополнительные исследования по пересчету к контрасту К=1,0 позволяют предложить для дальнейшего использования следующее приближенное соотношение:

 

,                                                            (14)

 

Предложенные исследования могут быть использованы при проведении летных испытаний для оценивания характеристик качества авиационных ЦАФС по заданному контрасту наземных штриховых мир, при определении области применения и потенциальных характеристик линейного разрешения аэрофотосистем, а также в ряде случаев позволяет отказаться от летного (натурного) эксперимента также при проектировании и исследовании сложных аэрофотосистем.

 

Список литературы:

  1. Басараб М.А., Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Яковлев В.П. Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона. - М.: Радиотехника, 2004.
  2. Веселов Ю.Г., Глушко В.А., Молчанов А.С. Математическая модель аэрофотосистемы, построенной на основе фоточувствительных приборов с переносом заряда. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Журнал «Наука и образование: электронное научно-техническое издание», Москва, 2013. - Вып.10. - с. 259-268.
  3. Дубинский Г.П., Кононов В.И., Федоровский А.Ф. Методы оценки качества оптических систем. - М.: Машиностроение, 1978. - 231 с.
  4. Котельников В.А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи - Всесоюзный энергетический комитет. // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН, 176:7. 2006. - с. 762 - 770.
  5. Молчанов А.С. Методика оценки линейного разрешения на пиксель аэрофотосистем военного назначения при проведении летных испытаний // Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка. Том 62. 2018. №4. С. 390 – 396.
  6. Молчанов А.С. Оценка качества аэрофотосистем методом математического моделирования с использованием критерия Шадэ // Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка. Том 61. 2018. №1. С. 28 – 33.
  7. Молчанов А.С., Москвич О.В. Оценка оптико-электронных средств воздушной разведки по мирам заданного контраста в практике летных испытаний БЛА. Сборник тезисов статей III Всероссийской научно-практической конференции «АВИАТОР». Актуальные вопросы исследований в авионике: теория, обслуживание, разработки. - Воронеж, 2016. - с. 43 - 44.
  8. Молчанов А.С., Чаусов Е.В. Программный комплекс обработки цифровых изображений при проведении летных испытаний. Войсковая часть 15650. Ахтубинск, 2018. - 12 с.
  9. Ребрин Ю.К. Оптико-электронное разведывательное оборудование летательных аппаратов. - Киевское ВВАИУ, 1988. - 450 с.
  10. Nyquist. Certain topics in telegraph transmission theory. Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617 - 644, Apr. 1928.